Question

已知abc≠0，且a+b+c=a^2+b^2+c^2=2,则(1-a^2）/bc+(1-b^2)/ac+(1-c^2)/ab=？

Answer 1

abc≠0，且a+b+c=a^2+b^2+c^2=2,
则a+b=2-c,a^2+b^2=2-c^2=(a+b)^2-2ab=(2-c)^2-2ab
则2ab=(2-c)^2-2+c^2=2c^2-4c+2,ab=c^2-2c+1=(1-c)^2
同理bc=(1-a)^2,ac=(1-b)^2
所以a,b,c同正或同负，又a+b+c=2，所以a,b,c同正
abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0，所以a≠1，b≠1，c≠1，
(1-a^2)/(bc)+(1-b^2)/(ac)+(1-c^2)/(ab)=(1-a^2)/(1-a)^2+(1-b^2)/(1-b)^2+(1-c^2)/(1-c)^2
=(1+a)/(1-a)+(1+b)/(1-b)+(1+c)/(1-c)=[(1+a)(1-b)+(1+b)(1-a)]/[(1-a)(1-b)]+(1+c)/(1-c)
=2(1-ab)/(1-a-b+ab)+(1+c)/(1-c)=2[1-(1-c)^2]/[1-(2-c)+(1-c)^2]+(1+c)/(1-c)
=2(2c-c^2)/(c^2-c)+(1+c)/(1-c)=2(2-c)/(c-1)+(1+c)/(1-c)=[2(2-c)-(1+c)]/(c-1)=(3-3c)/(c-1)=-3

Answer 2

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)
a+b+c=2，a^2+b^2+c^2=2

∴ab+ac+bc=1
∴1-a²=ab+ac+bc--a²=a(b+c-a)+bc=a(2-2a)+bc=2a-2a²+bc
得 bc=1-2a+a²
1-a²=1-(bc-1+2a)=2-2a-bc
(1-a²)/bc +（1-b²）/ca+（1-c²）/ab
=[(2-2a)/bc]-1+[(2-2b)/ac]-1+[(2-ac)/ab]-1
=2[(a-a²+b-b²+c-c²)/abc]-3=-3