Question

如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE,过点C作CF‖DE交A

如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE,过点C作CF‖DE交AB于点F.（1）若点D是BC边的中点（如图①）①求证:△ABD≌△CAF;②四边形EFCD是平行四边形.(2)若点D是BC边上的任意一点(除B,C外图②)，那么(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由.

Answer 1

（1）证明：因为三角形ABC是等边三角形
所以角BAC=角ACB=角ABC=60度
AB=AC
因为D是BC的中点
所以AD是等边三角形ABC的中线
所以AD是等边三角形ABC的角平分线
所以角BAD=角CAD=1/2角BAC=30度
因为三角形ADE是等边三角形
所以AD=DE
角ADE=60度
因为角ABC+角BAD+角ADE+角BDE=180度（三角形内角和等于180度）
所以角BDE=30度
以为CF平行DE
所以角BDE=角BCF
所以角BCF=30度
因为角ACB=角ACF+角BCF
所以角ACF=30度
所以角BAD=角ACF=30度
因为角ABC=角BAC=60度（已证）
AB=AC（已证）
所以三角形ABD和三角形CAF全等 (ASA)
证明：因为三角形ABD和三角形CAF全等（已证）
所以AD=CF
因为AD=DE（已证）
所以DE=CF
因为CF平行DE
所以四边形EFCD是平行四边形
（2）三角形ABD和三角形CAF全等这个结论仍然成立
证明：因为三角形ABC是等边三角形
所以角ABC=角ACB=角BAC=60度
AB=AC
因为三角形ADE是等边三角形
所以角ADE=60度
因为角ABC+角BAD+角ADE+角BDE=180度
所以角BAD+角BDE=60度
因为CF平行DE
所以角BDE=角BCF
所以角BCF+角BAD=60度
因为角ACB=角ACD+角BCD=60度
所以角BAD=角ACF
因为角ABC=角BAC=60度（已证）
AB=AC（已证）
所以三角形ABD和三角形CAF全等（ASA)

Answer 2

分析
（1）根据△ABC和△AED是等边三角形，D是BC的中点，ED∥CF，求证△ABD≌△CAF，进而求证四边形EDCF是平行四边形即可；
（2）在（1）的条件下可直接写出△AEF和△ABC的面积比；
（3）根据ED∥FC，结合∠ACB=60°，得出∠ACF=∠BAD，求证△ABD≌△CAF，得出ED=CF，进而求证四边形EDCF是平行四边形，即可证明EF=DC．
证明
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，且∠BAD=
1
2
∠BAC=30°，
∵△AED是等边三角形，
∴AD=AE，∠ADE=60°，
∴∠EDB=90°-∠ADE=90°-60°=30°，
∵ED∥CF，
∴∠FCB=∠EDB=30°，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACF=∠ACB-∠FCB=30°，
∴∠ACF=∠BAD=30°，
在△ABD和△CAF中，

∠BAD＝∠ACF
AB＝CA
∠FAC＝∠B

，
∴△ABD≌△CAF（ASA），
∴AD=CF，
∵AD=ED，
∴ED=CF，
又∵ED∥CF，
∴四边形EDCF是平行四边形，
∴EF=CD．

（2）解：△AEF和△ABC的面积比为：1：4；

（3）解：成立．
理由如下：∵ED∥FC，
∴∠EDB=∠FCB，
∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF，∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB
∴∠AFC=∠BDA，
在△ABD和△CAF中，

∠BDA＝∠AFC
∠B＝∠FAC
AB＝CA

∴△ABD≌△CAF（AAS），
∴AD=FC，
∵AD=ED，
∴ED=CF，
又∵ED∥CF，
∴四边形EDCF是平行四边形，
∴EF=DC．