Question

高数中关于分段函数的一道题！！！！

首先这道题几乎看不懂，不明白积分上限是x然后积分变量又是t。
然后看答案，第一步就懵了，首先求极限的过程为什么分母变成了2x？？？又不是求导。上面的分子为什么可以写成那样啊？？？xf（x）又不是原函数，为什么可以使用牛莱公式?

最后，恳切希望大神解答我的疑问然后解答这道题。谢谢！

Answer 1

准确说这是大学数学因为是我大一高等数学学到的，
首先对分子积分有x趋近于0，即趋近于下线，所以使用大学的洛必达法则，即：分子求导。得到分子上线x求导为1，下线0求导为0，所以分子为xf(x)；分母x^2求导我2x，即xf(x)/x^2.
第二步，因为x趋近于0，又因为f(0)=0，所以分子比分母还是0，还是符合洛必达法则，就是分子和分母各自在求导一次，得到f(x)/2X。
第三步，以为x趋近于0，f(0)=0，所以f(0)/2x=0

追问

1、为什么分子求积分趋近于0呢？
2、洛必达法则0/0型是分子分母同时求一次导，可是上面那个积分为什么要上下限求导？？我从来没有遇到过上下限求导的啊！！！不明白tf（t）是怎么变成xf（x）的

追答

（1）因为上线趋近于0和下线相同了
（2）因为上面积分求一次才是原函数
（3）这是大学才能学到的。

追问

我就是大学啊亲。你以为高中能学到洛必达法则么 - -但是高数上册真心没遇到过把上下限求导的

追答

额，好吧。大学这种题就是最简单的好吧