Question

高一数学的一道关于对数函数的题

已知p=(log2x-1)·(logab)^2-6log2x·logab+log2x+1（其中a为正常数），当x在区间[1,2]内任意取值时，p的值恒为正，求b的取值范围。

对数打不了，如果看不懂就看下面这个图，请数学大神们帮忙解答一下，最好写写过程，谢谢啦O(∩_∩)O！

Answer 1

已知p=(log₂x-1)(log²‹a›b)-6log₂x·log‹a›b+log₂x+1(其中a>0，且a≠1)，当x在区间[1,2]内任意取值时，p的值恒为正，求b的取值范围。
解：p=log₂xlog²‹a›b-log²‹a›b-6log₂x·log‹a›b+log₂x+1
=(log₂x)(log²‹a›b-6log‹a›b+1)-(log²‹a›b-1)>0在1≦x≦2时恒成立。
当1≦x≦2时0≦log₂x≦1，故要使上式恒成立，就应使log₂x取最小值0时上式成立，于是得：
-(log²‹a›b-1)>0，即log²‹a›b-1<0，也就是要使log²‹a›b<1，即-1<log‹a›b<1；
故当0<a<1时，应取a<b<1/a；当a>1时，应取1/a<b<a.