Question

已知函数f(x)=a^x-1/(a^x)(a>1),当θ属于[0,π/2]变化时,f(msinθ)+f(1-m)≥0恒成立，

则实数m的取值范围是________

Answer 1

函数 f(x) 的表达式不明晰，若 f(x)=a^x-[1/a^x]，则：
f(msinθ+f(1-m)=[a^(msinθ)]-[1/a^(misnθ)]+[a^(1-m)]-[1/a^(1-m)]≥0；
所以 [1/a^(misnθ)]+[1/a^(1-m)]≤[a^(msinθ)]+[a^(1-m)]
→ [a^(msinθ)]*[a^(1-m)]≥1 → msinθ+(1-m)≥0 → m≤1/(1-sinθ)；
因为 θ∈[0,π/2]，sinθ∈[0,1]，故 m∈[1,+∞)；

若函数形为 f(x)=(-1+a^x)/a^x，则情形稍复杂：
由 f(msinθ)+f(1-m)=[-1+a^(msinθ)]/a^(msinθ) +[-1+a^(1-m)]/a^(1-m)≥0；
化简是得到 2≥[1/a^(msinθ)]+[1/a^(1-m)]；若此式恒成立，那么使不等式 2<[1/a^(nsinθ)]+[1/a^(1-n)] 成立的 n 取值范围的补集就是所要求的 m；
因为 [1/a^(n*sinθ)]+[1/a^(1-n)]≥2/√{[a^(nsinθ)]*[1/a^(1-n)]}=2/√a^(nsinθ+1-n)；
如果 2/√a^(nsinθ+1-n)>2，即 √a^(nsinθ+1-n)<1，那么不等式 2≥[1/a^(nsinθ)]+[1/a^(1-n)] 就可能不成立；显然 不等式 √a^(nsinθ+1-n)<1 的解集 n 与前面所导出的不等式 a^(msinθ+1-m)≥1 的解集是互补的，因此 m 的解集依然是 [1,+∞)；

Answer 2

根据函数f(-x)=-f(x),可知f(x)是奇函数，f(0)=0
对函数f(x)求导,可知f(x)单调递增。
但θ属于（0,π/2]时，0<sinθ<=1

要使f(msinθ)+f(1-m)≥0恒成立，设变量X1=msinθ, X2=1-m。

1. 当X1，X2都大于等于零时

   即msinθ≥0，1-m≥0

       求出0=<m<=1

2.当X1>0,X2<0时

即msinθ>0，1-m<0, msinθ>-(1-m)

求出1<m<=1/(1-sinθ)

3当X1<0,X2>0时

即msinθ<0，1-m>0, -msinθ>(1-m)

求出m<0

则m<=1/(1-sinθ)