Question

已知在△ABC中，∠BAC=90º，AB=AC，P为BC上任意一点，求证：BP²+CP²=2AP²

Answer 1

过P点分别做PM、PN垂直于AB、AC，垂足分别为M、N

四边形AMPN为矩形

MB=MP=AN   NC=NP=AM

BP² = 2MP²    CP² = 2NP²

因为 AM²+MP² = AP²

NP²+MP² = AP²

所以 BP²+CP² =2(MP²+NP²)=2AP²

Answer 2

如图：BN=PN=AM，CM=PM=AN。 （等腰直角三角形性质）

BP^2+CP^2=BN^2+PN^2+CM^2+PM^=MP^2+AM^2+AN^2+PN^2=AP^2+AP^2=2AP^2.

Answer 3

从A向BC作垂线, 垂足为D,
AP^2=AD^2+DP^2
而在三角形ABD中
AD^2=AB^2-BD^2
所以AP^2=AB^2-BD^2+DP^2...1
又在三角形ACD中
AD^2=AC^2-CD^2
AP^2=AC^2-CD^2+DP^2...2
1+2=>
2*AP^2
=AB^2+AC^2-BD^2-CD^2+2DP^2
=BC^2-BD^2-CD^2+2DP^2
=(BP+CP)^2-BD^2-CD^2+2DP^2
=BP^2+CP^2+2BPCP-BD^2-CD^2+2DP^2
=BP^2+CP^2