Question

如图在三角形abc中,角abe=2角c,ad是角bac的平分线,be垂直于ad,垂足为e。

如图在三角形abc中,角abe=2角c,ad是角bac的平分线,be垂直于ad,垂足为e。若角c=30度，求证：ab=2be；
若角c不等于30度，求证：be=1/2(ac-ab)

Answer 1

(1)证明：因为BE垂直AD于E
所以角BEA=90度
因为角C=30度
角ABE=2角C
所以角ABE=60度
因为角ABE+角BEA+角BAE=180度
所以角BAE=30度
所以在直角三角形ABE中，角BEA=90度，角BAE=30度
所以BE=1/2AB
所以AB=2BE
(2)证明：延长BE与AC相交于F
因为AD是角BAC的角平分线
所以角FAE=角BAE
因为BE垂直AD于E
所以角AEF=角AEB=90度
因为AE=AE
所以三角形AEF和三角形AEB全等（ASA)
所以AF=AB
EF=BE=1/2BF
角AFE=角ABE
因为角AFE=角C+角CBF
角ABE=2角C
所以角C=角CBF
所以CF=BF=2BE
因为AC=AF+CF
所以AB+2BE=AC
所以BE=1/2(AC-AB)