Question

大一高数微积分一道题，第六题怎么做？

Answer 1

我来答吧,希望你的作业还没有交.先说我记不清那么多定理了,就用最基本的证明吧.各种符号用汉语读音的文字表示,懒得在输入法中找符号了.

首先,这个命题很直观,显然是成立的.

证明:

    因为f(x)在[a,b]上连续,

    所以f(x)在(a,b)上可导;

    又因为f(a)的右导数乘以f(b)的左导数>0,

    所以f(a)的右导数与f(b)的左导数符号相同,

    不妨设f(a)的右导数>0;

    因为f(a)的右导数>0且f(x)在(a,b)上可导;(f(x)在(a,b)上可导这个条件必须加上)

    所以存在一点x1属于[a,b]且x1>a,使得f(x1)>f(a)=k;

    又因为f(b)的左导数与f(a)的右导数符号相同;

    所以,f(b)的左导数>0且f(x)在(a,b)上可导;

    同样,存在一点x2属于[a,b]且x2<b,使得f(x2)<f(b)=k;

    因为f(x1)>k,f(x2)<k且f(x)在[x1,x2]上连续;

    所以f(x)在(x1,x2)上必与y=k至少有一个交点,

    即至少存在一点x3,使得f(x)在(x1,x2)上有f(x3)=k,

    亦即f(x)在(a,b)上至少有一点x3,使得f(x3)=k.

    f(a)的右导数<0的情况同理可证.

证完.

(补充:把证明中的"因为""所以""f(x)的左导数"等换成相应的数学符号即可,这里写的只是读音.

直观是因为一看到题就想到这样的图像:

)