Question

如图,在四边形ABCD中,∠BAC=∠ACD=90°,AB=CD.判断AD与BC之间的关系,并证明

如图，在四边形ABCD中，角BAC=角ACD=90度，AB=CD.
(1)判断AD与BC之间有何关系，并说明理由；
（2）若AB=5cm，BC=13cm
①过点A作AE⊥BC，垂足为E，求AE的长。
②点P从B点出发，以2cm/s的速度沿BC-CD-DA运动至A点停止，则从运动开始经过多少时间，AB=AP？

Answer 1

（1）AD=BC
证明：因为角BAC=角ACD=90度
AB=CD
AC=AC
所以三角形ABC和三角形CDA全等（SAS)
所以AD=BC
（2）解：因为角BAC=90度
所以三角形ABC是直角三角形
由勾股定理得：
BC^2=AB^2+AC^2
因为AB=5 BC=13
所以AC=12
因为AE垂直BC
所以S三角形ABC=1/2*AB*AC=1/2*BC*AE
所以AE=60/13
解：因为AB=AP=5
所以DP=AD-AP=BC-AP
因为BC=13 CD=5
所以路程是：AB+CD+DP=13+5+13-5=26
所以从运动开始经过的时间是：26/2=13 (s)
所以从运动开始经过13s时，AB=AP

Answer 2

(1)∵∠BAC=∠ACD=90°
∴AB∥CD
又∵AB=CD
∴四边形ABCD为平行四边形（平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴AD∥=BC
（2）略 （按要求画）解：因为角BAC=90度
所以三角形ABC是直角三角形
由勾股定理得：
BC^2=AB^2+AC^2
因为AB=5 BC=13
所以AC=12
因为AE垂直BC
所以S三角形ABC=1/2*AB*AC=1/2*BC*AE
所以AE=60/13
（3）由等腰三角形△PAB(PA=PB)和等腰三角形△PAC(PA=PC)（角等，对应的腰等）可知BC=2BP=5，BP=5/2，t=BP/2，t=5/4S