Question

若非零函数F(X)对任意实数a,b均有F(a+b)=f(a)*f(b),且x小于0时,f(x)大于1;

若非零函数F(X)对任意实数a,b均有F(a+b)=f(a)*f(b),且x小于0时,f(x)大于1;
(1)求证:f(x)大于0
(2)求证:(x)为减函数
(3)当F(4)=1/16时,解不等式F(X-3)*F(5-X^2)小于等于1/4

Answer 1

(1)
令a=b=x/2
f(x)=f(x/2)*f(x/2)=[f(x/2)]^2
非零函数f(x)
所以f(x)>0
(2)
令a=x1-x2 b=x2 且x1<x2
f(x1-x2+x2)=f(x1-x2)*f(x2)
f(x1)=f(x1-x2)*f(x2)
[x1-x2<0 f(x1-x2)>1
且f(x1)>0 f(x2)>0]
f(x1)/f(x2)>1
f(x1)>f(x2)
即得当x1<x2 f(x1)>f(x2)
所以f(x)为减函数
(3)
f(4)=f(2)*f(2) f(2)>0
所以f(2)=1/4
f(x-3)*f(5-x^2)<=1/4
f(x-3+5-x^2)<=f(2)
[f(x)为减函数]
x-3+5-x^2>=2
x^2-x<=0
0<=x<=1

Answer 2

解：（1）由题意得，当x<0时，f(x)>1,即f(x)>0;
当x=0时，取a=b=0,则f(0)=f(0)*f(0),又因为f(x)非零，则f(0)>0; 当x>0时，取a=b=x/2,则f(x)=f(x/2)*f(x/2)>0,故f(x)大于0；
（2）设b<0,则a+b<a,由题意得，f(a)/f(a+b)=1/f(b),又因为x<0时,f(x)>1,所以f(a)/f(a+b)<1,即f(a)<f(a+b),则f(x)为减函数。
（3）由题意得，f(4)=f(2)*f(2)=1/16,故f(2)=1/4,又f(x-3)*f(5-x^2)=f(-x^2+x+2)<=f(2),又因为f(x)为减函数，则-x^2+x+2>=2,解得0<=x<=1.

Answer 3

（1）f(-1+0)=f(-1)*f(0),f(-1)>1,f(0)=1
另x>0,f(0)=f(x+(-x))=f(x)*f(-x),f(x)=f(0)/f(-x),f(0)=1,f(-x)>1,
f(x)>0
(2)f(x-1)=f(x)*f(-1),f(x)>0,f(x-1)/f(x)=f(-1),f(-1)>1,所以f(x-1)>f(x),所以为减函数