Question

已知关于x的一元二次方程x�0�5+bx+c=x有两个实数根x1,x2，且满足x1>0,x1-x2>1

如题，（1）试证明c>0。（2）证明b�0�5>2(b+2c)。（3）对于二次函数y=x�0�5+bx+c，若自变量取值为x0，对应函数值为y0，则当0<x0<x1时，试比较y0与x1的大小

Answer 1

1
x1>0,x2-x1>1
所以x2>1
所以x1*x2=(c/a)>0
而a=1
所以c>0

2
整理方程得
x^2+(b-1)x+c=0
由于x2-x1>1,
所以[(b-1)^2-4c]>1 （求根公式直接相减，平方）
即b^2-2b+1-4c>1
整理得
b^2>2(b+2c)

3
x^2+bx+c=x
即x0^2+bx0+c=x0
即x0=y0
由于0<x0<x1
所以y0<x1

另附求根公式
ax�0�5+bx+c=0
两边同时除以a ：
x�0�5+(bx/a)+c/a=0 ，
两边加上配方项(b/2a)�0�5 ：
x�0�5+(bx/a)+(b/2a)�0�5+c/a=(b/2a)�0�5 ，
左边是配好的完全平方式，并把c/a移到右边：
[x+(b/2a)]�0�5=(b/2a)�0�5-(c/a) ，
右边通分，然后两边开方得 ：
x+(b/2a)=±[√(b�0�5-4ac)]/(2a) ，
把(b/2a)移到右边去 ：
x=[-b±√(b�0�5-4ac)]/(2a) ，
∴ x1=[-b+√(b�0�5-4ac)]/(2a) ，
∴ x2=[-b-√(b�0�5-4ac)]/(2a) ，

当b�0�5-4ac＞0时, 方程有两个不同的根 ，
当b�0�5-4ac＝0时, 方程有1个根 ，
当b�0�5-4ac＜0时, 方程有没有实根 。
（此提中的一次项系数是b-1而非b）满意还望采纳