Question

求曲线y=x^2+1上一点H，使点H到直线l:y=2x-5的距离最短

求曲线y=x^2+1上一点H，使点H到直线l:y=2x-5的距离最短.最短距离多少。

Answer 1

解：构造一条平行于l:y=2x-5的直线 y = 2x+b当y = 2x+b与y=x^2+1相切时有最短距离即x^2-2x + 1-b=0 有一解∴4 - 4（1-b）=0解得b=0代入原方程 x^2-2x + 1=0 解得x=1∴H（1，2） 长度应为√5

Answer 2

作与y=2X-5 的平行线 L： y=2X+m ，并与曲线y=x^2+1 相切于点H ，则点H到直线l:y=2x-5的距离最短y=2X+m 与y=x^2+1联立得 X^2-2X-m+1=0 ,令△=0 ,即 4+4m-4=0 ,即 m=0 于是 H(1,2) ,那么 H 到直线l: 2x-y-5=0 的最短距离 d= |2-2-5| /√5 =√5