Question

在ΔABC中，角A，B ，C的对边分别为a，b，c且满足（2b-c）cosA=acosC (1)

在ΔABC中，角A，B ，C的对边分别为a，b，c且满足（2b-c）cosA=acosC (1)求角A的大小(2)若b+c=6，a=2√6，求△ABC的面积

Answer 1

(1)设△ABC外接圆半径为r

则由定理知 a=2rsinA  b=2rsinB  c=2rsinC

代入条件得

(4rsinB-2rsinC)cosA=2rsinAcosC

(2sinB-sinC)cosA=sinAcosC

2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sinB

所以2cosA=1

cosA=1/2  得A=60

(2)

将cosA=1/2  a=2√6代入条件得

(2b-c)*1/2=2√6*cosC

(2b+2c-3c)=4√6 *cosC

(12-3c)=4√6 *cosC ....(1)

再由公式a/sinA=2r 得r=√6/(√3/2)=2√2 

c/sinC=2r=4√2

sinC=c/4√2   cosC=±√(1-sin^2 C)=±√(1-c^2/32)

代入(1)得

(12-3c)=4√6 *√(1-c^2/32)

(4-c)=4/3 *√6 *√(1-c^2/32) 平方得

16-8c+c^2=16*6/9 *(1-c^2/32)

16-8c+c^2=32/3 *(1-c^2/32)=32/3-c^2/3

4/3 c^2 -8c+16/3=0

c^2-6c+4=0

(c-3)^2=5

c1=3+根号5  c2=3-根号5

1. c=3+根号5  则b=3-根号5  作BD垂直AC 得BD是高 BD=c*sinA=(3+根号5)*√3 /2 所以S△ABC＝1/2*BD*AC=1/2*(3+根号5)*√3 /2*(3-根号5) =√3 

2. 同理c=3-根号5时 b=3+根号5 可得S△ABC =√3

Answer 2

用射影定理去解第一匙，可知B=六十度

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