第二问求方法 数学
2个回答
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∵向量AB²=向量AB·向量AC+向量BA·向量BC+向量CA·向量CB
∴向量AB•(向量AC-向量AB)+向量BC•(向量BA-向量CA)=0
即向量AB•向量BC+向量BC•向量BC=0
即向量AC•向量BC=0
则AC⊥BC
△ABC是直角三角形
∠C=90°
sinA+sinB
=cosB+sinB
=√2sin(B+π/4)
∵B∈(0,π/2）
∴B+π/4∈(π/4,3π4）
∴sin(B+π/4)∈(√2/2,1)
√2sin(B+π/4)∈(√2,2)
sinA+sinB的范围是(√2,2)
（2）
a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)≥kabc
∵a,b,c是直角三角形三边，
∴c>a，c>b,不能直接用均值不等式
利用三角函数解决
在直角三角形中
a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)
→k≤(a/c+a/b)+(b/a+b/c)+(c/a+c/b)
=sinθ+tanθ+cotθ+cosθ+cscθ+secθ
=(sinθ+cosθ)+[1/(sinθcosθ)]+[(sinθ+cosθ)/(sinθcosθ)].
令sinθ+cosθ=t，则t∈(0，√2].
∴k≤t+[2/(t^2-1)]+[2t/(t^2-1)]
=[2/(t-1)]+(t-1)+1.
利用对勾函数的单调性，很易得到
k≤2+3√2。
如果您认可我的回答，请点击“采纳为满意答案”,祝学习进步！
∴向量AB•(向量AC-向量AB)+向量BC•(向量BA-向量CA)=0
即向量AB•向量BC+向量BC•向量BC=0
即向量AC•向量BC=0
则AC⊥BC
△ABC是直角三角形
∠C=90°
sinA+sinB
=cosB+sinB
=√2sin(B+π/4)
∵B∈(0,π/2）
∴B+π/4∈(π/4,3π4）
∴sin(B+π/4)∈(√2/2,1)
√2sin(B+π/4)∈(√2,2)
sinA+sinB的范围是(√2,2)
（2）
a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)≥kabc
∵a,b,c是直角三角形三边，
∴c>a，c>b,不能直接用均值不等式
利用三角函数解决
在直角三角形中
a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)
→k≤(a/c+a/b)+(b/a+b/c)+(c/a+c/b)
=sinθ+tanθ+cotθ+cosθ+cscθ+secθ
=(sinθ+cosθ)+[1/(sinθcosθ)]+[(sinθ+cosθ)/(sinθcosθ)].
令sinθ+cosθ=t，则t∈(0，√2].
∴k≤t+[2/(t^2-1)]+[2t/(t^2-1)]
=[2/(t-1)]+(t-1)+1.
利用对勾函数的单调性，很易得到
k≤2+3√2。
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更多追问追答
追问
∴c>a，c>b,不能直接用均值不等式
为什么不能直接用 不是只要是正数就可以么
追答
问题是你想用均值不正是利用>=
但现在取不到等，没有了定量关系
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