已知∠ABC=90°,△ABE是等边三角形,点P为射线BC上任意一点(点P与点B不重合),
（1）如图1，当AB=根号3，点A、D、P恰好在一条直线上时，DF的长为____；
（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠EFC的度数，并加以证明；
（3）当AB=根号3，设BP=x,点E到射线BC的距离为Y，求关于X的函数关系式。 展开
(1)显然角BAD=60 角BPD=30
AB＝根号3则 AP=2根号3 BP=3
因为三角形ABD是等边三角形 所以AB=AD=BD=根号3
所以AD=DP＝根号3 D是AP的中点
连EP 可得三角形AEP是等边三角形 所以角EPB=角APE+角BPD=60+30=90
EP=AP=2根号3 角PED=30 所以
对于三角形EPF 是直角三角形 所以可得EF=EP/sin60 =4
DE=3 (等边三角形EPA的中线)
所以DF=4-3=1
(2) 当P 在BC上任意一点时 若ADP三点共线 则角EFC=60
若A,D,P三点不共线时 则 角EFC=60 如下图所示
证明: 设 图中F P中间的那个点为P1 (就是第一问中P点 角AP1B=30）
作AT 交EF于 T ,使角TAP1=60 角EAT=角PAP1
可以证明三角形ATE 与三角形APP1 全等
根据上一问 可知 TD就是上一问的ED
所以角EFP=60
上面的P在P1的右边 ，当P在P1的左边时 同理可求
(3)作EM垂直 BC 于M点 则EM=Y
根据上二问的结论得
角DFC=30 AP1下DF垂直
所以DP1=根号3 EP1 =DP1/sin60 =2
BP1=3 BF=3-2=1
AP^2=3+X^2 =PE^2
设FM=a 则 PM=BP-BF-FM=x-1-a
EM=a*根号3
所以EM^2=PE^2-PM^2=3+x^2-(x-1-a)^2 =3a^2
3+x^2-x^2+2(1+a)x-(1+a)^2 =3a^2
3a^2=3+2x+2ax -1-a^2-2a
4a^2 +2a(1-x)-(3-2x)=0
a=((x-1)+根号(x^2-10x+13))/4
所以Y=EM=根号3/4 [x-1+根号(x^2-10x+13)] 数据没检查可能有错 过程无误
