Question

已知函数f(x)=lnx-ax+(1-a)/x-1 (a属于R) 当a≤0.5时，讨论f(x)的单

调性

Answer 1

首先，定义域为x>0
对f(x)求导得
f’(x)=(1/x) - a-[(1-a)/x²]=(-ax²+x+a-1)/x²
1、当a=0时，f’(x)=(x-1)/x²，令f’(x)≥0以求f(x)的增区间得x≥1；令f’(x)≤0以求f(x)的减区间得0<x≤1；
2、当a≠0时，f’(x)=(-ax²+x+a-1)/x²=(-a)(x-1)[x-(1-a)/a]/x²
令f’(x)=0，可求得x=1或x=(1-a)/a
因为a≤1/2，所以1≤(1-a)/a，下面分两类讨论：
⑴当1=(1-a)/a即a=1/2时，f’(x)=(-1/2)(x-1)²/x²≤0，原函数f(x)在定义域上单调递减。
⑵当1<(1-a)/a即a<1/2时，再分两种情况讨论：
①当a<0时，令f’(x)≥0以求f(x)的增区间得0<x≤1或x≥(1-a)/a；令f’(x)≤0以求f(x)的减区间得1≤x≤(1-a)/a；
②当0<a<1/2时，令f’(x)≥0以求f(x)的增区间得1≤x≤(1-a)/a；令f’(x)≤0以求f(x)的减区间得0<x≤1或x≥(1-a)/a；

综上所述：
当a<0时，f(x)的增区间为0<x≤1或x≥(1-a)/a，减区间为1≤x≤(1-a)/a；
当a=0时，f(x)的增区间为x≥1，减区间为0<x≤1；
当0<a<1/2时，f(x)的增区间为1≤x≤(1-a)/a，减区间为0<x≤1或x≥(1-a)/a；
当a=1/2时，f(x)在定义域x>0上单调递减。