Question

从离地面H高处落下一只小球，小球在运动过程中所受的空气阻力是它的重力的K倍，而小球与地面相碰后，能

从离地面H高处落下一只小球，小球在运动过程中所受的空气阻力是它的重力的K倍，而小球与地面相碰后，能以相同大小的速率反弹，求:（1）小球第一次与地面相碰后，能够反弹起的最大高度是多少？（2）小球从释放开始，直到停止弹跳为止，所通过的总路程是多少？

Answer 1

(1)、设小球第一次与地面相碰时的速度为V1，对小球使用动能定理，有mgH-KmgH=1/2mV1^2

设小球反弹后的速度为V2，能够反弹的最大高度为h1，据题意知V2=-V1，对小球使用动能定理，有（mg+Kmg）h1=1/2mV2^2

联立以上两式，解得h1=(1-K)H/(1+K)

(2)、小球的重力势能最后全部被摩擦力消耗掉了，设小球从释放开始，直到停止弹跳为止，所通过的总路程为S，根据能量转化与守恒定律，有mgH=KmgS，解得S=H/K

ps：可以介绍（2）的另一种解法。重复（1）的计算过程，可以知道小球第二次反弹的最大高度h2为(1-K)^2H/(1+K)^2，第三次反弹的最大高度h3为(1-K)^3H/(1+K)^3，以此类推，第n次反弹的最大高度hn为(1-K)^nH/(1+K)^n。因为小球每次反弹之后会经过2次h1，h2，h3...hn，所以
小球从释放开始，直到停止弹跳为止，所通过的总路程S=H+2（h1+h2+...hn），其中n要趋于无穷大。易知h1，h2，h3...hn组成首项为a1=(1-K)H/(1+K)，公比q=(1-K)/(1+K)的等差数列，且0<q<1，所以当n趋于无穷大时Sn=h1+h2+...hn=a1/(1-q)=(1-K)H/2K，把Sn代入S中，可得S=H/K