Question

f(z)=(1/z(1-z)^2)在0＜|z|＜1,圆环域内展开成洛朗级数

f(z)=(1/z(1-z)^2)在0＜|z|＜1,圆环域内展开成洛朗级数
请问怎么做，要详细的过程讲解

Answer 1

f(z)=1/[z(1-z)^2]=1/z*1/(1-z)^2

1/(1-z)^2=(1+z+z^2+z^3+.....+z^n)^2
f(z)=1/z*1/(1-z)^2=1/z*(1+z+z^2+z^3+.....+z^n)^2=1/z*(1+z+z^2+z^3+.....+z^n+z+z^2+z^3+.....+z^(n+1)+z^2+z^3+.....+z^(n+1)+z^(n+2)+........)=1/z*(1+2z+3z^2+4z^3+.....+(n+2)z^(n+1))=∑(n=0→+∞)(n+2)z^n

Answer 2

可利用圆环域内解析的函数展开为洛朗级数的唯一性来计算。f(z)=1/[z(1-z)^2]=1/z+1/(1-z)+1/(1-z)^2=(1/2)/[1-(2-z)/2]-1/[1-(2-z)]+1/[1-(2-z)]^2=(1/2)[1+(2-z)/2+(2-z)^2/2^2+...+(2-z)^n/2^n+...]-[1+(2-z)+(2-z)^2+...+(2-z)^n+...]+[1+2(2-z)+3(2-z)^2+...+(n+1)(2-z)^n+...]=∑(n=0→+∞)[n+1/2^(n+1)](2-z)^n。 上式没有出现负幂项是因为f(z)在z=2处是解析的。
希望对你能有所帮助。

追问

不要复制好嘛亲- - 这一看就不是这道题的答案