Question

已知f(x)=ax+1\x+2在区间（-2，+∞）上是增函数，求a的取值范围

Answer 1

f（x）=(ax+1)/(x+2)
=[a(x+2)+1-2a]/(x+2)
=a+(1-2a)/(x+2)
若函数f(x)在区间﹙-2，+∞﹚上是增函数
则对任意的-2<x1<x2,
总有f(x1)-f(x2)<0恒成立
f(x1)-f(x2)
=(1-2a)/(x1+2)-(1-2a)/(x2+2)
=(1-2a)(x2-x1)/[(x1+2)(x2+2)]<0恒成立
∵-2<x1<x2,
∴x2-x1>0 ,(x1+2)(x2+2)>0，
则需1-2a<0,即a>1/2
∴a的取值范围 是(1/2,+∞)

另法：
f(x)的图像是由反比例函数y=(1-2a)/x平移而来
向左平移2各单位，在向上平移a各单位就是f(x)的图像
f(x)若是在区间﹙-2，+∞﹚上是增函数
则需y=(1-2a)/x在(0,+∞)递增，需反比例系数1-2a<0