Question

观察下列等式：1/1*2=1-1/2,1/2*3=1/2-1/3,1/3*4=1/3-1/4,将以上三个等式两边分别相加得：

1/1*2+1/2*3+1/3*4=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4=1-1/4=3/4.
（1）猜想并写出：1/n(n+1)=______;
(2)直接写出下列各式的计算结果
1/1*2+1/2*3+1/3*4+...+1/99*100=_________;
(3)计算：1/1*2+1/2*3+1/3*4...+1/n(n+1).

Answer 1

裂项法：
观察下列等式：1/1*2=1-1/2,1/2*3=1/2-1/3,1/3*4=1/3-1/4,将以上三个等式两边分别相加得：1/1*2+1/2*3+1/3*4=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4=1-1/4=3/4.

（1）猜想并写出：1/n(n+1)=1/n-1/(n+1);
(2)直接写出下列各式的计算结果
1/1*2+1/2*3+1/3*4+...+1/99*100=1-1/100=99/100;
(3)计算：
1/1*2+1/2*3+1/3*4...+1/n(n+1)
=1-1/2+1/3-1/3+1/3-1/4+……+1/n-1/(n+1)
=1-1/(n+1)
=n/(n+1)

Answer 2

解：（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
(2)99/100
(3)原式=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/n-1/(n+1)=1-1/n+1)=n/(n+1)

Answer 3

1/n-1/（n+1）
1-1/100=99/100
1-1/（n+1）=n/(n+1)