Question

求做这道题，要详细解答过程，谢谢了!

Answer 1

解；（Ⅰ）f′（x）=-xex，
x=0时，f′（x）=0，
x＜0时，f′（x）＞0，
x＞0时，f′（x）＜0；
∴f（x）在（-∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减；
∴f（x）max=f（0）=0．
（Ⅱ）g′（x）=e^x-λ/(1−x)=[(1−x)e^x−λ]/(1−x)，
令h（x）=（1-x）e^x-λ，
∴h′（x）=-xe^x，
x∈[0，1）时，h′（x）≤0，h（x）单调递减，
若在[0，1）内存在使h（x）=（1-x）e^x-λ＞0的区间（0，x0），
则g（x）在（0，x0）上是增函数，g（x）＞g（0）=0，与已知不符；
故x∈[0，1）时，h（x）≤0，g（x）在[0，1）上是减函数，g（x）≤g（0）=0成立．
∴h（x）的最大值h（0）≤0，即（1-0）e^0-λ≤0，∴λ≥1，
∴λ的取值范围是[1，+∞）．
（Ⅲ）：在（Ⅱ）中令λ=1，
∴x＞0时，ex＜1-ln（1-x），
将x=1/(n+1)，1/(n+2)，…，1/2n    

代入上述不等式，再将得到的n个不等式相加，
得：1/e^(n+1)+1/e^(n+2)+1/e^(n+3)+…+1/e^(2n)    ＜n+ln2．