Question

求函数f（x）=-x2+2ax-1，x∈[-2，2]的最大值g（a），并求g（a）的最小值

求函数f（x）=-x2+2ax-1，x∈[-2，2]的最大值g（a），并求g（a）的最小值．

Answer 1

由f（x）=-x²+2ax-1=-（x-a）²+a²-1，-2≤x≤2，
∴当-2≤a≤2时，g（a）=f（a）=a²-1；
当a＜-2时，g（a）=f（-2）=-4a-5；
当a＞2时，g（a）=f（2）=4a-5；
∴g（a）=

?4a?5 (a＜?2) a2?1 (?2≤a≤2) 4a?5 (a＞2)

，
∴当-2≤a≤2时，g（a）=a²-1，∴-1≤g（a）＜3；
当a＞2时，g（a）=4a-5，∴g（a）＞3；
当a＜-2时，g（a）=-4a-5，∴g（a）＞3；
综上所得：g（a）≥-1，
故g（a）的最小值为-1，此时a=0．

Answer 2

数形结合：对称轴为x=a
(1)当a<-2时，g(a)=f(-2)=-5-4a，g(a)>3
(2)当-2<=a<=2时，g(a)=f(a)=a^2-1，g(a)的最小值-1
(3)当a>2时，g(a)=f(2)=-5+4a，g(a)>3
综上得：g(a)的最小值＝－1