Question

如图，△ABC中，AB=BC=10，点M、N在BC上，使得MN=AM=4，∠MAC=∠BAN，则△ABC的面积是______

如图，△ABC中，AB=BC=10，点M、N在BC上，使得MN=AM=4，∠MAC=∠BAN，则△ABC的面积是______．

Answer 1

解：∵AB=BC，
∴∠BAC=∠C，
又∵∠MAC=∠BAN，
∴2∠MAC+∠NAM=∠C，
又∵MN=AM，
∴∠NAM=∠ANM，
又∵∠AMN=∠MAC+∠C+∠AMN=180°-2∠NAM，
即∠MAC+∠C=180°-2∠NAM，∠MAC+2∠MAC+∠NAM=180°-2∠NAM，
∴∠BAM=∠NAC=∠MAC+∠NAM=60°，
过B作BG⊥AM于G，过C作CH⊥AM于H，
在Rt△ABG中，AB=10，∠BAG=60°，
∴BG=5

3

，
根据余弦定理可求得：BM=2

19

，CM=10-2

19

，
∴

CH

BG

＝

CM

BM

，
∴CH=

5 3 (10?2 19 )

2 19

，
∴S_△ABC=

1

2

?AM?（BG+CH）=

1

2

×4×[5

3

+