已知:如图,在△ABC中,D为AB的中点,E、F分别为BC、AC边上的点.请你判断一下S△DEF与S△ADF+S△BDE的
已知:如图,在△ABC中,D为AB的中点,E、F分别为BC、AC边上的点.请你判断一下S△DEF与S△ADF+S△BDE的大小关系,并证明....
已知:如图,在△ABC中,D为AB的中点,E、F分别为BC、AC边上的点.请你判断一下S△DEF与S△ADF+S△BDE的大小关系,并证明.
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解:S△DEF≤S△ADF+S△BDE.
理由如下:连接CD,设
=x,
=y,(0≤x≤1,0≤y≤1),△ABC的面积=S,
∵D为AB的中点,
∴S△ACD=S△BCD=
S△ABC=
S,
又∵S△ADF=(1-y)S△ACD=(1-y)?
S,
S△BDE=(1-x)S△BCD=(1-x)?
S,
∴S△ADF+S△BDE=(1-y)?
S+(1-x)?
S=(2-x-y)?
S,
又∵S△CEF=xy?S,
∴S△DEF=S-(2-x-y)?
S-S?xy=
S(x+y-2xy),
∴(S△ADF+S△BDE)-S△DEF=(2-x-y)?
S-
S(x+y-2xy)=
S(2-2x-2y+2xy)=S(1-x-y+xy)=S(1-x)(1-y),
∵0≤x≤1,0≤y≤1,
∴S(1-x)(1-y)≥0恒成立,
当点E与B重合或点F与A重合时,等号成立,
所以,S△DEF≤S△ADF+S△BDE.
理由如下:连接CD,设
CE |
BC |
CF |
AC |
∵D为AB的中点,
∴S△ACD=S△BCD=
1 |
2 |
1 |
2 |
又∵S△ADF=(1-y)S△ACD=(1-y)?
1 |
2 |
S△BDE=(1-x)S△BCD=(1-x)?
1 |
2 |
∴S△ADF+S△BDE=(1-y)?
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
又∵S△CEF=xy?S,
∴S△DEF=S-(2-x-y)?
1 |
2 |
1 |
2 |
∴(S△ADF+S△BDE)-S△DEF=(2-x-y)?
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
∵0≤x≤1,0≤y≤1,
∴S(1-x)(1-y)≥0恒成立,
当点E与B重合或点F与A重合时,等号成立,
所以,S△DEF≤S△ADF+S△BDE.
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