已知:如图,在△ABC中,D为AB的中点,E、F分别为BC、AC边上的点.请你判断一下S△DEF与S△ADF+S△BDE的

已知:如图,在△ABC中,D为AB的中点,E、F分别为BC、AC边上的点.请你判断一下S△DEF与S△ADF+S△BDE的大小关系,并证明.... 已知:如图,在△ABC中,D为AB的中点,E、F分别为BC、AC边上的点.请你判断一下S△DEF与S△ADF+S△BDE的大小关系,并证明. 展开
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小冰银荡B0162
2014-11-04 · 超过68用户采纳过TA的回答
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解:S△DEF≤S△ADF+S△BDE
理由如下:连接CD,设
CE
BC
=x,
CF
AC
=y,(0≤x≤1,0≤y≤1),△ABC的面积=S,
∵D为AB的中点,
∴S△ACD=S△BCD=
1
2
S△ABC=
1
2
S,
又∵S△ADF=(1-y)S△ACD=(1-y)?
1
2
S,
S△BDE=(1-x)S△BCD=(1-x)?
1
2
S,
∴S△ADF+S△BDE=(1-y)?
1
2
S+(1-x)?
1
2
S=(2-x-y)?
1
2
S,
又∵S△CEF=xy?S,
∴S△DEF=S-(2-x-y)?
1
2
S-S?xy=
1
2
S(x+y-2xy),
∴(S△ADF+S△BDE)-S△DEF=(2-x-y)?
1
2
S-
1
2
S(x+y-2xy)=
1
2
S(2-2x-2y+2xy)=S(1-x-y+xy)=S(1-x)(1-y),
∵0≤x≤1,0≤y≤1,
∴S(1-x)(1-y)≥0恒成立,
当点E与B重合或点F与A重合时,等号成立,
所以,S△DEF≤S△ADF+S△BDE
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