Question

已知：如图，在△ABC中，D为AB的中点，E、F分别为BC、AC边上的点．请你判断一下S△DEF与S△ADF+S△BDE的

已知：如图，在△ABC中，D为AB的中点，E、F分别为BC、AC边上的点．请你判断一下S△DEF与S△ADF+S△BDE的大小关系，并证明．

Answer 1

解：S_△DEF≤S_△ADF+S_△BDE．
理由如下：连接CD，设

CE

BC

=x，

CF

AC

=y，（0≤x≤1，0≤y≤1），△ABC的面积=S，
∵D为AB的中点，
∴S_△ACD=S_△BCD=

1

2

S_△ABC=

1

2

S，
又∵S_△ADF=（1-y）S_△ACD=（1-y）?

1

2

S，
S_△BDE=（1-x）S_△BCD=（1-x）?

1

2

S，
∴S_△ADF+S_△BDE=（1-y）?

1

2

S+（1-x）?

1

2

S=（2-x-y）?

1

2

S，
又∵S_△CEF=xy?S，
∴S_△DEF=S-（2-x-y）?

1

2

S-S?xy=

1

2

S（x+y-2xy），
∴（S_△ADF+S_△BDE）-S_△DEF=（2-x-y）?

1

2

S-

1

2

S（x+y-2xy）=

1

2

S（2-2x-2y+2xy）=S（1-x-y+xy）=S（1-x）（1-y），
∵0≤x≤1，0≤y≤1，
∴S（1-x）（1-y）≥0恒成立，
当点E与B重合或点F与A重合时，等号成立，
所以，S_△DEF≤S_△ADF+S_△BDE．