Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R，a≠0），f（-2）=f（0）=0，f（x）的最小值为-1．（1）求函数

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R，a≠0），f（-2）=f（0）=0，f（x）的最小值为-1．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设g（x）=f（-x）-mx+1，若g（x）在[-1，1]上是单调函数，求实数m的取值范围；（3）设h（x）=f（x）-nx+2，若h（x）在[-1，1]上的最小值是1，求实数n的值．

Answer 1

（1）由于二次函数f（x）=ax²+bx+c满足f（-2）=f（0）=0，f（x）的最小值为-1，
则f（-1）=-1，
故实数a，b，c满足的关系式为

4a+2b+c＝0 c＝0   a+b+c＝?1

，
解得a=1，b=-2，c=0．
故这个二次函数的表达式为y=x²-2x．
（2）设g（x）=f（-x）-mx+1，则g（x）=（-x）²-2（-x）-mx+1=x²+（2-m）x+1，
可得函数g（x）的对称轴为x=-

2?m

2

，
由于g（x）在[-1，1]上是单调函数，
则-

2?m

2

≤-1或-

2?m

2

≥1，解得 m≤0或m≥4，
故实数m的取值范围为（-∞，0]∪[4，+∞）．
（3）设h（x）=f（x）-nx+2，则h（x）=x²-2x-nx+2=x²-（2+n）x+2，
可得函数h（x）的对称轴为x=1+

n

2

，
①当n≥0时，则1+

n

2

≥1，故函数h（x）=x²-（2+n）x+2在区间[-1，1]上为减函数，
则h（x）_min=h（1）=1-（2+n）+2=1-n=1，解得n=0；
②当n≤-4时，则1+

n

2

≤?1，故函数h（x）=x²-（2+n）x+2在区间[-1，1]上为增函数，
则h（x）_min=h（-1）=1+（2+n）+2=5+n=1，解得n=-4；
③当-4＜n＜0时，则-1＜1+

n

2

＜1，故函数h（x）=x²-（2+n）x+2在区间[-1，1+

n

2

]上为减函数，
在区间[1+

n

2

，1]上为增函数，
则h（x）_min=h（1+

n

2

）=（1+

n

2

）²-（2+n）（1+

n

2

）+2=1，
解得n=0或n=-4，故当-4＜n＜0时，n无解；
综上可知，实数n的值为0或4．