Question

已知函数f（x）=x2-（a+2）x+alnx．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极小值；（Ⅱ）当a=-1时，过坐标原点O

已知函数f（x）=x2-（a+2）x+alnx．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极小值；（Ⅱ）当a=-1时，过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，设切点为P（m，n），求实数m的值；（Ⅲ）设定义在D上的函数y=g（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为l：y=h（x），当x≠x0时，若g(x)?h(x)x?x0＞0在D内恒成立，则称P为函数y=g（x）的“转点”．当a=8时，试问函数y=f（x）是否存在“转点”．若存在，请求出“转点”的横坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=2x-3+

1

x

=

2x2?3x+1

x

=

(x?1)(2x?1)

x

，…2分
当0＜x＜

1

2

时，f′（x）＞0；当

1

2

＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．
所以当x=1时，函数f（x）取极小值f（1）=-2，…5分；
（Ⅱ）当a=-1时，f′（x）=2x-1-

1

x

（x＞0），所以切线的斜率
k=2m-1-

1

m

=

2m2?m?1

m

=

n

m

=

m2?m?lnm

m

，整理可得m²+lnm-1=0，
显然m=1是方程的解，又因为函数y=x²+lnx-1在（0，+∞）上是增函数，
所以方程有唯一的实数解，即m=1，…10分；
（Ⅲ）当a=8时，函数y=f（x）在其图象上一点P（x₀，y₀）处的切线方程为：
h（x）=(2x0+

8

x0

?10)(x?x0)+x02?10x0+8lnx0，
设F（x）=f（x）-h（x），则F（x₀）=0，F′（x）=f′（x）-h′（x）
=（2x+

8

x

?10）-（2x0+

8

x0

?10）=

2

x

（x-x₀）（x-

4

x0

）
若0＜x₀＜2，F（x）在（x₀，

4

x0

）上单调递减，所以当x∈（x₀，

4

x0

）时，
F（x）＜F（x₀）=0，此时

F(x)

x?x0

＜0，
若x₀＞2，F（x）在（

4

x0

，x₀）上单调递减，所以当x∈（

4

x0

，x₀）时，
F（x）＞F（x₀）=0，此时

F(x)

x?x0

＜0，
所以y=f（x）在（0，2）和（2，+∞）上不存在“转点”，
若x₀=2时，F′（x）=

2

x

(x?2)2，即F（x）在（0，+∞）上是增函数，
当x＞x₀时，F（x）＞F（x₀）=0，当x＜x₀时，F（x）＜F（x₀）=0，
故点P（x₀，f（x₀））为“转点”，
故函数y=f（x）存在“转点”，且2是“转点”的横坐标，…15分