Question

光滑的平行金属导轨长x=2m，两导轨间距L=0.5m，轨道平面与水平面的夹角θ=30°，导轨上端接一阻值为R=0.6

光滑的平行金属导轨长x=2m，两导轨间距L=0.5m，轨道平面与水平面的夹角θ=30°，导轨上端接一阻值为R=0.6Ω的电阻，轨道所在空间有垂直轨道平面向上的匀强磁场，磁场的磁感应强度B=1T，如图所示．有一质量m=0.5kg、电阻r=0.4Ω的金属棒ab，放在导轨最上端，其余部分电阻不计．已知棒ab从轨道最上端由静止开始下滑到最底端脱离轨道的过程中，电阻R上产生的热量Q1=0.6J，取g=10m/s2，试求：（1）当棒的速度v1=2m/s时，电阻R两端的电压；（2）棒下滑到轨道最底端时速度的大小；（3）棒下滑到轨道最底端时加速度a的大小．

Answer 1

（1）速度v=2m/s时，棒中产生的感应电动势为：
E=BLv=1×0.5×2V=1V
电路中的电流为：I=

E

R+r

=

1

0.6+0.4

A=1A，
所以电阻R两端的电压为：U=IR=1×0.6V=0.6V．
（2）根据Q=I²Rt得：

Q1

Q2

=

R

r

，
棒在下滑的整个过程中金属棒中产生的热量：Q₂=

r

R

Q₁=

0.4

0.6

×0.6J=0.4J
设棒到达最底端时的速度为v₂，根据能的转化和守恒定律，有：
mgxsinθ=

1

2

mv₂²+Q₁+Q₂，
得：v₂=

2(mgxsinθ?Q1?Q2) m

=

2×(0.5×10×2×sin30°?0.6?0.4) 0.5

=4m/s．
（3）棒到达最底端时，回路中产生的感应电流为：I₂=

BLv2

R+r

=

1×0.5×4

0.6+0.4

A=2A
根据牛顿第二定律有：mgsinθ-BI₂L=ma
解得：a=gsin30°-

BI2L

m

=10×0.5-

1×2×0.5

0.5

=3m/s²
答：（1）当棒的速度v₁=2m/s时，电阻R两端的电压为0.6V；
（2）棒下滑到轨道最底端时速度的大小为4m/s；
（3）棒下滑到轨道最底端时加速度a的大小为3m/s²．