第6题，大一高数，求解答过程，谢谢
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根据罗尔中值定理：f(x)在区间[a,b]上可导，且f(a)=f(b),那么存在ξ∈[a,b],f'(ξ)=0,∴f'(x)在[1,2],[2,3],[3,4]上各有一个ξ，f'(ξ)=0
第二个也不难：
方法一：考察f(x)=nb^(n-1)*(x-b)，g(x)=x^n-b^n
f(b)=g(b)=0
当x>b>0时，f'(x)=nb^(n-1),g'(x)=nx^(n-1)
∴f'(x)＜g'(x)
∴[g(x)-f(x)]'＞0,当x＞b时,设h(x)=g(x)-f(x)
∴h(b)=0,由拉格朗日中值定理：存在ξ∈[b,a]
h(a)-h(b)=h'(ξ)*(a-b)=h(a)
∵h'(ξ)＞0,a-b＞0
∴h(a)＞0,∴g(a)＞f(a)
另一边：同理设f(x)=a^n-x^n,g(x)=na^(n-1)*(a-b)
即可证。
方法二：a^n-b^n=(a-b)[∑a^i*b^(n-1-i)],i=1,2,…,n-1
∵b^(n-1)=b^i*b^(n-1-i)＜a^i*b^(n-1-i)＜a^i*a^(n-i-1)=a^(n-1)
∴nb^(n-1)*()a-b＜a^n-b^n<na^(n-1)*(a-b)
第二个也不难：
方法一：考察f(x)=nb^(n-1)*(x-b)，g(x)=x^n-b^n
f(b)=g(b)=0
当x>b>0时，f'(x)=nb^(n-1),g'(x)=nx^(n-1)
∴f'(x)＜g'(x)
∴[g(x)-f(x)]'＞0,当x＞b时,设h(x)=g(x)-f(x)
∴h(b)=0,由拉格朗日中值定理：存在ξ∈[b,a]
h(a)-h(b)=h'(ξ)*(a-b)=h(a)
∵h'(ξ)＞0,a-b＞0
∴h(a)＞0,∴g(a)＞f(a)
另一边：同理设f(x)=a^n-x^n,g(x)=na^(n-1)*(a-b)
即可证。
方法二：a^n-b^n=(a-b)[∑a^i*b^(n-1-i)],i=1,2,…,n-1
∵b^(n-1)=b^i*b^(n-1-i)＜a^i*b^(n-1-i)＜a^i*a^(n-i-1)=a^(n-1)
∴nb^(n-1)*()a-b＜a^n-b^n<na^(n-1)*(a-b)
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令f(x)=0则x=1,2,3,4 ∴f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=0
又f(x)在区间［1，2］上连续，在区间〔1，2〕上可导，f(1)=f(2)=0
由罗尔定理可知：
方程f'(x)=0在区间（1，2）至少存在一个实根
同理可知：
方程f'(x)=0分别在区间（2，3）（3，4）都至少存在一个实根
又f'(x)=0为三次方程，其根至多三个
∴f'(x)=0有三个实根，其区间分别是（1，2），（2，3），（3，4）
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