Question

如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F． 请解答下列问

如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F． 请解答下列问题：（1）连结BD，试说明∠BDE=∠CDF；（2）求证：BE=FC；（2）若AE=4，FC=3，求EF长．

Answer 1

（1）∵等腰三角形ABC中，∠ABC=90°
∴AB=BC，∠A=∠C=45°，
∵D是AC边上中点，
∴BD⊥AC，
又∵DE⊥DF，
∴∠EDF=∠BDC=90°，
∴∠BDE+∠BDF=∠BDF+∠CDF，
即∠BDE=∠CDF；

（2）由等腰三角形“三线合一”得∠EBD=∠DBC=

1

2

∠ABC＝45°＝∠C，
∴DB=DC，
在△DEB和△DFC中，

∠BDE＝∠CDF DB＝DC ∠EBD＝∠C

，
∴△DEB≌△DFC（ASA），
∴EB=FC；

（3）EB=FC=3，AB=BC=7，BF=BC-FC=4，
在Rt△EBF中，∠B=90°，EF＝

EB2+BF2

＝

32+42

＝5．