Question

已知函数f（x）=x2-（a+2）x+alnx．其中常数a＞0．（1）当a＞2时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）当a

已知函数f（x）=x2-（a+2）x+alnx．其中常数a＞0．（1）当a＞2时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）当a=4时，给出两类直线：6x+y+m=0与3x-y+n=0，其中m，n为常数，判断这两类直线中是否存在y=f（x）的切线，若存在，求出相应的m或n的值，若不存在，说明理由．（3）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），当x≠x0时，若h(x)?g(x)x?x0＞0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”，当a=4时，试问y=f（x）是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵f（x）=x²-（a+2）x+alnx，
∴f′(x)＝2x?(a+2)+

a

x

=

2x2?(a+2)x+a

x

=

(2x?a)(x?1)

x

，
∵a＞2，∴

a

2

＞1．
当0＜x＜1及x＞

a

2

时，f′（x）＞0．当1＜x＜

a

2

时，f′（x）＜0，
∴f（x）的增区间是（0，1），（

a

2

，+∞）．
（2）a=4，f′（x）=2x+

4

x

?6，
∵x＞0，∴f′(x)＝2x+

4

x

?6≥4

2

-6，
不存在6x+y+m=0这类直线的切线．
由2x+

4

x

?6＝3得x＝

1

2

与x=4，当x＝

1

2

时，求得n＝?

17

4

?4ln2．
当x=4时，求得n=4ln4-20．
（3）y＝g(x)＝(2x0+

4

x0

?6)(x?x0)+

x

2 0

?6x0+4lnx0，
令h（x）=f（x）-g（x）=x2?6x+4lnπ?(2x0+

4

x0

?6)?（x-x₀）-（x02?6x0+4lnx0），
则h（x₀）=0，
h′(x)＝2x+

4

x

?6?(2x0+

4

x0

-6）=2（x-x₀）（1-