Question

已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，- π 2 ＜ φ＜ π 2 ）的图象如图所示，

已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，- π 2 ＜ φ＜ π 2 ）的图象如图所示，直线x= 3π 8 ，x= 7π 8 是其两条对称轴．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（a）= 6 5 ，且 π 8 ＜α＜ 3π 8 ，求f（ π 8 +α ）的值．

Answer 1

（本题满分14分） （1）由题意， T 2 = 7π 8 - 3π 8 = π 2 ，∴T=π． 又ω＞0，故ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ）．（2分） 由f（ 3π 8 ）=2sin（ 3π 4 +φ）=2，解得φ=2kπ- π 4 （k∈Z）． 又- π 2 ＜φ＜ π 2 ，∴φ=- π 4 ，∴f（x）=2sin（2x- π 4 ）．（5分） 由2kπ- π 2 ≤2x- π 4 ≤2kπ+ π 2 （k∈Z），知kπ- π 8 ≤x≤kπ+ 3π 8 （k∈Z）， ∴函数f（x）的单调增区间为[kπ- π 8 ，kπ+ 3π 8 ]（k∈Z）．（7分） （2）解法1：依题意得2sin（2α- π 4 ）= 6 5 ，即sin（2α- π 4 ）= 3 5 ，（8分） ∵ π 8 ＜α＜ 3π 8 ，∴0＜2α- π 4 ＜ π 2 ． ∴cos（2α- π 4 ）= 4 5 ，（10分） f（ π 8 +α）=2sin[（2α- π 4 ）+ π 4 ]． ∵sin[（2α- π 4 ）+ π 4 ]=sin（2α- π 4 ）cos π 4 +cos（2α- π 4 ）sin π 4 = 2 2 （ 3 5 + 4 5 ）= 7 2 10 ， ∴f（ π 8 +α）= 7 2 5 ．（14分） 解法2：依题意得sin（2α- π 4 ）= 3 5 ，得sin2α-cos2α= 3 2 5 ，①（9分） ∵ π 8 ＜α＜ 3π 8 ，∴0＜2α- π 4 ＜ π 2 ， ∴cos（α- π 4 ）= 4 5 ，（11分） 由cos（2α- π 4 ）= 4 5 得sin2α+cos2α= 4 2 5 ．② ①+②得2sin2α= 7 2 5 ， ∴f（ π 8 +α）= 7 2 5 ．（14分）