Question

已知抛物线 y= 1 2 x 2 -mx+2m- 7 2 ．（1）试说明：无论m为何实数，该抛物线与x

已知抛物线 y= 1 2 x 2 -mx+2m- 7 2 ．（1）试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点．（2）如图，当抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C，直线y=x-1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D．①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？

Answer 1

（1）该函数的判别式=m 2 -4m+7=（m-2） 2 +3≥3 ∴该抛物线与x轴总有两个不同的交点． （2）由直线y=x-1与抛物线交于A、B两点， ∴点A（1，0） 代入二次函数式则m=3 故二次函数式为： y= 1 2 x 2 -3x+ 5 2 当抛物线的对称轴为直线x=3时，则y=-2， 即顶点C为（3，-2）， 把x=3代入直线y=x-1则y=2， 即点D（3，2） 则AD=AC=2 2 设点P（x， 1 2 x 2 -3x+ 5 2 ） 由直线AD的斜率与直线PC的斜率相等 则 1 2 x 2 -3x+ 5 2 +2 x-3 =1 解得：x=3或x=5 则点P（3，-2）（与点D重合舍去）或（5，0） 经检验点（5，0）符合， 所以点P（5，0） ②设直线AB解析式为y=kx+b，将A（1，0），D（3，2）代入得直线AB：y=x-1， 设M（a，a-1），N（a， 1 2 a 2 -3a+ 5 2 ）， 当以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，MN=CD，即|（a-1）-（ 1 2 a 2 -3a+ 5 2 ）|=4， 解得a=4± 17 或3或5， 故把直线CD向右平移1+ 17 个单位或2个单位，向左平移 17 -1个单位，能使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．