Question

已知函数f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（﹣1）=﹣2．（1）

已知函数f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（﹣1）=﹣2．（1）求f（0）；（2）求证f（x）为奇函数；（3）f（x）在[﹣2，1]上的值域．

Answer 1

解：（1）令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0）， ∴f（0）=0 （2）令y=﹣x，得f（﹣x+x）=f（x）+f（﹣x） 即f（0）=f（x）+f（﹣x） ∴f（x）+f（﹣x）=0， 即f（﹣x）=﹣f（x） 因此f（x）为R上的奇函数， （3）设x 1 ，x 2 ∈R，且x 1 ＜x 2 ，则x 2 ﹣x 1 ＞0， ∵当x＞0时，f（x）＞0 ∴f（x 2 ﹣x 1 ）＞0 又∵f（x 2 ）=f[（x 2 ﹣x 1 ）+x 1 ]=f（x 2 ﹣x 1 ）+f（x 1 ） ∴f（x 2 ）﹣f（x 1 ）＞0，可得f（x 1 ）＜f（x 2 ） ∴f（x）为奇函数 ∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，f（﹣2）=2f（﹣1）=﹣4 ∵f（x）为R上的增函数， ∴当﹣2≤x≤1时，f（﹣2）≤f（x）≤f（1）， 即函数在[﹣2，1]上的值域为[﹣4，2]