Question

若随机变量X在区间（0，θ）服从均匀分布，X1，X2…Xn是其样本，求：（1）θ的矩估计和极大似然估计． （

若随机变量X在区间（0，θ）服从均匀分布，X1，X2…Xn是其样本，求：（1）θ的矩估计和极大似然估计． （2）判别他们的无偏性．

Answer 1

（1）因为总体X在区间[0，θ]上服从均匀分布，因此

E(X)=θ2，

所以θ的矩估计为θ矩=2¯¯¯¯¯X；

又f(xi，θ)=⎧⎨⎩1θ，0≤xi≤θ0，其他，

所以似然函数L(θ)=⎧⎨⎩1θn，0≤xi≤θ0，其他

而dlnL(θ)dθ=−nϑ＜0，

所以L（θ）关于θ是减函数．

所以θ的最大似然估计为

θ最大=max（X1，…Xn）．

（2）E（θ最大）=E（max（X1，…Xn）），令Y=max（X1，…Xn），则

FY(y)=P(max(X1，…Xn)≤y)=P(X1≤y，…Xn≤y)=FX1(y)…FXn(y)

而当0≤y≤θ，FX1(y)=∫y0f(x1，θ)dx1=yθ，

所以FX1(y)=⎧⎪
⎪⎨⎪
⎪⎩0，y＜0yθ，0≤y≤θ1，y＞θ，

于是FY(y)=⎧⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪⎩0，y＜0ynθn，0≤y≤θ1，y＞θ，fY(y)=⎧⎨⎩n(yθ)n−11θ，

0≤y≤θ0，其他，

所以，E（θ最大）=E（max（X1，…Xn））

=E(Y)=∫θ0yfY(y)dy=nn+1θ．

扩展资料：

矩估计，即矩估计法，也称“矩法估计”，就是利用样本矩来估计总体中相应的参数。

首先推导涉及感兴趣的参数的总体矩（即所考虑的随机变量的幂的期望值）的方程。

然后取出一个样本并从这个样本估计总体矩。接着使用样本矩取代（未知的）总体矩，解出感兴趣的参数。从而得到那些参数的估计。

矩法估计原理简单、使用方便，使用时可以不知总体的分布，而且具有一定的优良性质（如矩估计为Eξ的一致最小方差无偏估计），因此在实际问题，特别是在教育统计问题中被广泛使用。

但在寻找参数的矩法估计量时，对总体原点矩不存在的分布如柯西分布等不能用，另一方面它只涉及总体的一些数字特征，并未用到总体的分布，因此矩法估计量实际上只集中了总体的部分信息，

这样它在体现总体分布特征上往往性质较差，只有在样本容量n较大时，才能保障它的优良性,因而理论上讲，矩法估计是以大样本为应用对象的。

用样本矩作为相应的总体矩估计来求出估计量的方法.其思想是：如果总体中有 K个未知参数，可以用前 K阶样本矩估计相应的前k阶总体矩，然后利用未知参数与总体矩的函数关系，求出参数的估计量。

参考资料：百度百科-矩估计

Answer 2

（1）由于X在区间（0，θ）服从均匀分布，因此EX＝

θ

2

令EX＝

.

X

，则θ＝2

.

X

，即θ的矩估计为

θ

＝2

.

X

又因为似然函数为
L（x₁，x₂，…，x_n；θ）=θ＝

1

θn

n π

i＝1

I(0＜Xi≤θ)，其中I(0＜xi≤θ)为示性函数
要使得似然函数达到最大，首先一点是示性函数取值应该为1，其次是

1

θn

应尽可能大
由于

1

θn

是θ的单调减函数，所以θ的取值应尽可能小，但示性函数决定了θ不能小于x_（n）
因此，θ的极大似然估计为

θ

＝x(n)
（2）∵E(2

.

X

)＝

2

n

?(n

θ

2

)＝θ，即2

.

X

是θ的无偏估计．
E(X(n))＝

θ

2

≠x(n)，即x_（n）不是θ的无偏估计．