Question

如图，已知△ABC中，AB=AC，D是CB延长线上一点，∠ADB=60°，E是AD上一点，且有DE=DB．求证：AE=BE+BC

如图，已知△ABC中，AB=AC，D是CB延长线上一点，∠ADB=60°，E是AD上一点，且有DE=DB．求证：AE=BE+BC．

Answer 1

证明：延长DC到F，使CF=BD，连接AF，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACF，
在△ABD和△ACF中，

AB＝AC ∠ABD＝∠ACF BD＝CF

，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴AD=AF，
又∵∠ADB=60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴AD=DF，
∵AD=AE+DE，DF=DB+BC+CF，
又∵DE=DB，且∠ADB=60°
∴△DEB是等边三角形．
∴DE=BE=DB=CF，
∴AE+DE=BE+BC+DE，
∴AE=BE+BC．

Answer 2

取BC中点F连接AF,延长BC至G,使CG=DB，连接AG。

AC=AB,F为BC中点，所以AF垂直BC；F为BC中点，DB=CG，所以DF=FG，结合两点可得AD=AG，又ADB=60度 ，所以ADG为等边三角形，所以AD=DG。DE=DB，ADB=60°，DEB也是等边三角形，BE=DB=DE

AD=AE+DE=DG=DB+BC+CG=BE+DE+BC  所以AE=BE+BC

Answer 3

证明：

延长DC到F，使CF=BD，连接AF

∵AB=AC

∴∠ABC=∠ACB

∴∠ABD=∠ACF

在△ABD和△ACF中，

AB＝AC

∠ABD＝∠ACF

BD＝CF    

∴△ABD≌△ACF（SAS）

∴AD=AF

又∵∠ADB=60°

∴△ADF是等边三角形

∴AD=DF

∵AD=AE+DE，DF=DB+BC+CF

又∵DE=DB，且∠ADB=60°

∴△DEB是等边三角形

∴DE=BE=DB=CF

∴AE+DE=BE+BC+DE

∴AE=BE+BC

证毕

Answer 4

延长DC至E，使CE=BD，连接AE
∵∠D=60度，BD=DE ∴三角形BDE是等边三角形
易证：三角形ABD与三角形ACE全等
∴∠E=∠D=60度 BD=CE ∴三角形ADE是等边三角形
∴AD=DE ∴AE+ED=CD+CE
即AE=CD=BE+EC
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