Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn+1=Sn+2an+1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn＝n

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn+1=Sn+2an+1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn＝nan+1(n∈N+)，求数列{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（Ⅰ）∵S_n+1=S_n+2a_n+1，∴a_n+1=2a_n+1
∴a_n+1+1=2（a_n+1）
∵a₁=1，∴a₁+1=2，∴{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列
∴a_n+1=2ⁿ
∴a_n=2ⁿ-1；
（Ⅱ）bn＝

n

an+1

＝n?(

1

2

)n，
∴T_n=1×

1

2

+2×(

1

2

)2+…+n?(

1

2

)n①
∴

1

2

T_n=1×(

1

2

)2+…+(n?1)?(

1

2

)n+n?(

1

2

)n+1②
①-②可得：

1

2

T_n=

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-n?(

1

2

)n+1=

1 2 [1?( 1 2 )n]

1? 1 2

-n?(

1

2

)n+1=1-(

1

2

)n-n?(

1

2

)n+1
∴T_n=2-(

1

2

)n?1-n?(

1

2

)n．