Question

已知函数f（x）=3sinωxcosωx-cos2ωx+12（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π2．（1）求f（2π3）的值，并

已知函数f（x）=3sinωxcosωx-cos2ωx+12（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π2．（1）求f（2π3）的值，并写出函数f（x）的图象的对称中心的坐标；（2）当x∈[π3，π2]时，求函数f（x）的单调递减区间．

Answer 1

f（x）=

3

sinωxcosωx-cos²ωx+

1

2

=

3

2

sin2ωx-

1

2

 cos2ωx
=sin（2ωx-

π

6

），
（1）∵函数的最小正周期为

π

2

，ω＞0
∴ω=2，
即f（x）=sin（4x-

π

6

），
∴f（

2π

3

）=sin（

8π

3

-

π

6

）=sin

π

2

=1，
令4x-

π

6

=kπ，
解得x=

kπ

4

+

π

24

，
所以函数的对称中心坐标为（

kπ

4

+

π

24

，0）（k∈Z）
（2）当x∈[

π

3

，

π

2

]时，4x-

π

6

∈[

7π

6

，

11π

6

]
∵当4x-

π

6

∈[

7π

6

，

3π

2

]时，函数f（x）为减函数
∴当x∈[

π

3

，

π

2

]时，函数f（x）的单调递减区间为[

π

3

，

5π

12

]．