Question

设集合A={（x，y）|m2≤（x-2）2+y2≤m2，x，y∈R}，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R }，若A∩B≠?，

设集合A={（x，y）|m2≤（x-2）2+y2≤m2，x，y∈R}，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R }，若A∩B≠?，求实数m的取值．

Answer 1

∵对任意m∈R，都有2m≤2m+1，所以B≠?，
集合B表示在直线x+y=2m与直线x+y=2m+1之间的平面区域（包含边界）．
当

m

2

＞m²，即0＜m＜

1

2

时，A=?，不满足条件；
当

m

2

≤m²，即m≤0或m≥

1

2

时，A≠?．
（1）若m≤0，则A={（x，y）|（x-2）²+y²≤m²，x，y∈R}表示以点（2，0）为圆心，
半径为|m|的圆面（m=0时是原点），
A∩B≠?等价于点（2，0）到直线x+y=2m+1的距离不大于半径|m|，
即

|2?2m?1|

2

≤|m|，即2m²-4m+1≤0，即（m-1）²≤

1

2

，解得1-

2

2

≤m≤1+

2

2

，所以m∈?；
（2）若m≥

1

2

，则A={（x，y）|

m

2

≤（x-2）²+y²≤m²，x，y∈R}表示以点（2，0）为圆心，
大圆半径为|m|，小圆半径为

m 2

的圆环．
当（2，0）∈B，即2m≤2≤2m+1，即

1

2

≤m≤1时，A∩B≠?，满足条件；
若m＞1，则A∩B≠?等价于点（2，0）到直线x+y=2m的距离不大于半径|m|，
即

|2?2m|

2

≤|m|，即m²-4m+2≤0，即（m-2）²≤2，解得2-

2

≤m≤2+

2

，所以1＜m≤2+

2

，满足条件．
综上，实数m的取值范围是[

1

2

，2+

2

]．