Question

如何利用窗函数设计fir滤波器

Answer 1

数字滤波器可以按所处理信号的维数分为一维、二维或多维数字滤波器。一维数字滤波器处理的信号为单变量函数序列，例如时间函数的抽样值。二维或多维数字滤波器处理的信号为两个或多个变量函数序列。例如，二维图像离散信号是平面坐标上的抽样值。一维滤波器，处理一维数字信号序列的算法或装置。线性、时不变一维数字滤波器的输出信号序列y(n)和输入信号序列x(n)的关系由线性、常系数差分方程描述：（如图1）。相应的Z域转移函数图二式中ar、bk为数字滤波器系数，Z【y(n)】和Z【x(n)】分别为输出和输入信号序列的Z变换。转移函数H(z)的Z反变换称为一维数字滤波器的单位冲激响应，即h(n)=Z-1【H(z)】。输出信号序列也可以表示为输入信号序列x(n)与数字滤波器单位冲激响应h(n)的离散褶积（如图三）。如果数字滤波器的单位冲激响应h(n)只有有限个非零值，称为有限冲激响应数字滤波器。如果单位冲激响应具有无限多个非零值，称为无限冲激响应数字滤波器。有限冲激响应数字滤波器一般采取非递归型算法结构，因此也称非递归型数字滤波器。无限冲激响应数字滤波器只能采取递归型算法结构，故又称递归型数字滤波器。二维滤波器，处理二维数字信号序列的算法或装置。线性、时不变二维数字滤波器的输出 y(m，n)与输入 x(m，n)关系由两个变量线性常系数差分方程描述：（如图4）。相应的转移函数为图5式中，a b为滤波器系数,Z【y(m,n)】和Z【x(m，n)】分别为输出和输入信号序列的二维Z变换。转移函数H(z1，z2)的二维Z反变换h(m，n)=Z-1【H(z1,z2】,称为二维数字滤波器的单位冲激响应。二维数字滤波器的输出y(m，n)亦可表示为输入信号序列x（m,n）和单位冲激响应h(m，n)的二维离散褶积（图六）。二维数字滤波器对单位冲激响应亦分有限冲激响应和无限冲激响应两类。二维有限冲激响应数字滤波器为非递归型算法结构，因此又称二维非递归型数字滤波器。二维无限冲激响应数字滤波器为递归型算法结构，因此也称二维递归型数字滤波器。想了解更多相关信息，可以咨询上海上恒电子有限公司，谢谢！

Answer 2

Matlab中，函数fir1（）和fir2（）利用加窗傅里叶级数法设计FIR滤波器。函数fir1（）用来设计传统的LP（低通）、HP（高通）、BP（带通）、BS（带阻）和多频带FIR滤波器；而函数fir2（）用来设计具有任意幅度响应的的FIR滤波器。

一、函数fir1的各种形式如下：
b = fir1(N,Wn)
b = fir1(N,Wn,'ftype')
b = fir1(N,Wn,window)
b = fir1(N,Wn,'ftype',window)
b = fir1(...,'normalization')
其中，1、N为滤波器节点个数；
2、Wn（0<Wn<1）为归一化截止频率；
3、ftype为滤波器类型（默认（缺省时）是low）：
'high' for a highpass filter with cutoff frequency Wn.
'stop' for a bandstop filter, if Wn = [w1 w2]. The stopband frequency range is specified by this interval.
'DC-1' to make the first band of a multiband filter a passband.
'DC-0' to make the first band of a multiband filter a stopband.
4、window为所加窗的类型（默认的是hamming窗），e.g hamming、chebwin、blackman、hanning、kaiser等。
5、normalization为是否将滤波器的幅度进行归一化：

f is a vector of frequency points in the range from 0 to 1, where 1 corresponds to the Nyquist frequency.The frequency points must be in increasing order.
m is a vector containing the desired magnitude response at the points specified in f.
Duplicate frequency points are allowed, corresponding to steps in the frequency response.
'scale' (default): Normalize the filter so that the magnitude response of the filter at the center frequency of the passband is 0 dB.
'noscale': Do not normalize the filter.
fir1（）举例：设计一个低通滤波器

t = 0:0.01:2;
f =2*sin(2*pi*20*t)+4*sin(2*pi*60*t);
N = 11; %滤波器节点个数
wc = 0.5; %归一化截止频率
hd = fir1(N,wc,'low'); % 基于加窗函数的FIR滤波器设计
ft = conv(f,hd);
figure(1)
plot(abs(fft(f)));
title('原始信号f');
figure(2)
plot(abs(fft(ft)));
title('滤波后信号ft');

二、函数fir2的各种形式如下：
b = fir2(n,f,m)
b = fir2(n,f,m,window)
b = fir2(n,f,m,npt)
b = fir2(n,f,m,npt,window)
b = fir2(n,f,m,npt,lap)
b = fir2(n,f,m,npt,lap,window)
其中，向量f是指定频率点的幅度响应样本，与m定义的幅度响应样本对应；f和m具有相同的长度，并且f的第一个和最后一个分量分别是0和1；可以对f中的频点进行复制，从而跳变地逼近幅度响应指标。
npt指定了函数fir2（）进行内插得频率响应的栅格点数目，默认值为512。
lap指定了在f中重复频率点间插入的区域大小。

举例：设计一个30阶的低通滤波器

f = [0 0.6 0.6 1]; m = [1 1 0 0];
b = fir2(30,f,m);
[h,w] = freqz(b,1,128);
plot(f,m,w/pi,abs(h))
legend('Ideal','fir2 Designed')
title('Comparison of Frequency Response Magnitudes')