Question

已知函数f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ）的定义域为R（1）当θ=0时，求f（x）的单调递减区间；（2）若θ

已知函数f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ）的定义域为R（1）当θ=0时，求f（x）的单调递减区间；（2）若θ∈（0，π），当θ为何值时，f（x）为奇函数．

Answer 1

（1）θ=0时， f(x)=sinx+cosx= 2 sin(x+ π 4 ) 又由 2kπ+ π 2 ≤x+ π 4 ≤2kπ+ 3 2 π ，得 2kπ+ π 4 ≤x≤2kπ+ 5 4 π ∴f（x）的单调递减区间为 [2kπ+ π 4 ，2kπ+ 5 4 π] k∈Z（6分） （2）∵ f(x)= 2 sin(x+θ+ π 4 ) ， 又若f（x）为奇函数，则f（0）=0 ∴ sin(θ+ π 4 )=0 又0＜θ＜π，从而 π 4 ＜θ+ π 4 ＜ 5 4 π ∴ θ+ π 4 =π ∴ θ= 3 4 π （12分）