Question

如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，F为边AB上一动点，AF=nBF，E为直线BC上一点，且∠EDF=120°．

如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，F为边AB上一动点，AF=nBF，E为直线BC上一点，且∠EDF=120°． （1）如图1，当n=2时，求 = _________ ；（2）如图2，当n= 时，求证：CD=2CE；（3）如图3，过点D作DM⊥BC于M，当_________，C点为线段EM的中点．

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Answer 1

（1）解：过D作DG∥BC交AB于G，如图1， ∵D是AC的中点， ∴DG为△ABC的中位线， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACD=∠ABC=60°， ∴∠DCE=120°， 又∵DG∥BC， ∴∠FGD=120°，∠GDC=120°，△AGD为等边三角形， 而∠EDF=120°， ∴∠GDF=∠CDE， ∴△GDF∽△CDE， ∴FG：CE=DG：DC， 即CE：DC=FG：DG， 而DG=AG=BG，AF=2BF， 设BF=x，AF=2x， 则AB=3x，AG= x，FG= x﹣x= x， ∴CE：DC=FG：DG=FG：AG= x： x=1：3． 故答案为 ； （2）证明：过D作DG∥AB交AB于G，如图2， 当n= 时，则DG为△ABC的中位线， 同（1）一样可没谨证得△GDF∽△CDE， ∴FG：CE=DG：DC，即CE：DC=FG：DG， 而AF= BF，设BF=3x，AF=x， 则AB=4x，AG=2x，GF=x， ∴CE：DC=FG：AG=x：2x， ∴CD=2CE； （3）解：过悉镇D作DG∥AB交AB于G，如图3， 由前面可得CE：DC=FG：AG； ∵DM⊥BC， ∴∠MDC=30°， ∴MC= DC， 而C点为线段EM的中点， ∴CE= DC， ∴FG= AG， ∴FG= BG，即F为BG的中点，F为AB的四等分点，睁察粗 ∴AF=3BF， 故答案为n=3．