Question

已知：二次函数y=ax2+bx-2的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，-b），其中a＞b＞0且a、b

已知：二次函数y=ax2+bx-2的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，-b），其中a＞b＞0且a、b为实数．（1）求一次函数的表达式（用含b的式子表示）；（2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x1、x2，求|x1-x2|的范围．

Answer 1

（1）∵一次函数过原点，
∴设一次函数的解析式为y=kx；
∵一次函数过（1，-b），
∴y=-bx．（3分）

（2）∵y=ax²+bx-2过（1，0），即a+b=2，（4分）
∴b=2-a．
由

y＝?bx y＝ax2+bx?2

，得：（5分）
ax²+bx-2=-bx，
∴ax²+（2-a）x-2=-（2-a）x，
∴ax²+2（2-a）x-2=0①；
∵△=4（2-a）²+8a=16-16a+4a²+8a=4（a²-2a+1）+12=4（a-1）²+12＞0，
∴方程①有两个不相等的实数根，
∴方程组有两组不同的解，
∴两函数图象有两个不同的交点．（6分）

（3）∵两交点的横坐标x₁、x₂分别是方程①的解，
∴x₁+x₂=-

b

a

，∴x₁+x₂=-

2(2?a)

a

，x1x2＝

?2

a

；
∴|x1?x2|＝

(x1+x2)2?4x1x2

=

4a2?8a+16 a2

＝

( 4 a ?1)2+3

；
（或由求根公式得出）（8分）
∵a＞b＞0，a+b=2，
∴2＞a＞1；
令函数y＝(

4

a

?1)