Question

一般地，如果函数f（x）的图象关于点（a，b）对称，那么对定义域内的任意x，则f（x）+f（2a-x）=2b恒成立

一般地，如果函数f（x）的图象关于点（a，b）对称，那么对定义域内的任意x，则f（x）+f（2a-x）=2b恒成立．已知函数f（x）=4x4x+m的图象关于点M（12，12）对称，则常数m的值为______．

Answer 1

解；∵函数f（x）=

4x

4x+m

的图象关于点M（

1

2

，

1

2

）对称，
∴f（x）+f（1-x）=1，
即当x=

1

2

时，f（

1

2

）+f（

1

2

）=1，
即f（

1

2

）=

1

2

，
则f（

1

2

）

4 1 2

4 1 2 +m

＝

2

2+m

＝

1

2

，解得m=2，
故答案为：2

Answer 2

(1)
a
=
1/2,
f(2a
-
x)
=
f(1-x)
=
4^(1-x)/[4^(1-x)
+
m]
=
4/(4
+m*4^x)
b
=
1/2,
f(x)
+
f(2a
-x)
=
1
=
4^x/(4^x+
m)
+
4/(4
+m*4^x)
=
(4^x
+
m-m)/(4^x+
m)
+
4/(4
+m*4^x)
=
1
-
m/(4^x+
m)
+
4/(4
+m*4^x)
m/(4^x+
m)
=
4/(4
+m*4^x)
4*4^x
+
4m
=
4m+
m²*4^x
m²
=
4
m
=
±2
定义域
为R,
舍去m
=
-2
(此时在x
=
1/2处无定义)
(2)似乎有问题
(3)
f(1/2012)+f(2/2012)+...+f(2011/2012)+f(2012/2012)
=
[f(1/2012)
+
f(2011/2012)]
+
[f(2/2012)
+
f(2010/2012)]
+
...
+
[f(1005/2012)
+
f(1007/2012)]
+
f(1006/2012)
+
f(2012/2012)
=
1
+
1
+
...
+
1
+
f(1/2)
+
f(1)
=
1005
+
f(1/2)
+
f(1)
和为1005+
√4/(√4
+
2)
+
4/(4
+
2)
=
1005
+
1/2
+
2/3
=
1006+1/6

Answer 3

由题目
把a,b分别换成0,1
可以得到
g(x)+g(-x)=1
又当x>0时,g(x)=x²+ax+1
∴令x＜0
则-x
＞0
代入g(-x)=x²-ax+1
又g(-x)=1-g(x)
∴1-g(x)=x²-ax+1
∴g(x)=-x²+ax
(x＜0)