Question

在平面直角坐标系中，已知点A（-2，0），B（2，0），若在坐标轴上存在点C，使得AC+BC=m，则称点C为点A，B

在平面直角坐标系中，已知点A（-2，0），B（2，0），若在坐标轴上存在点C，使得AC+BC=m，则称点C为点A，B的“m和点”．如C坐标为（0，0）时，AC+BC=4，则称C（0，0）为点A，B的“4和点”．（1）若点C为点A，B的“m和点”，且△ABC为等边三角形，求m的值；（2）A，B的“5和点”有几个，请分别求出坐标；（3）直接指出点A，B的“m和点”的个数情况和相应的m取值条件．

Answer 1

（1）∵A（-2，0），B（2，0），
∴AB=2-（-2）=4．
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC=AB=4，
∴AC+BC=4+4=8，即m=8；

（2）设点C为点A，B的“5和点”．分两种情况：
①如果点C在x轴上，设C点坐标为（x，0）．
∵AC+BC=5，
∴|x+2|+|x-2|=5，
当x≤-2时，-（x+2）-（x-2）=5，解得x=-2.5，所以C点坐标为（-2.5，0）；
当-2＜x≤2时，（x+2）-（x-2）=5，x无解；
当x＞2时，（x+2）+（x-2）=5，解得x=2.5，所以C点坐标为（2.5，0）；
②如果点C在y轴上，设C点坐标为（0，y）．
∵AC+BC=5，
∴

22+y2

+

22+y2

=5，
∴

22+y2

=2.5，
两边平方，得4+y²=6.25，
解得y=±1.5．
经经验，y=±1.5都是原方程的根，
所以C点坐标为（0，1.5），（0，-1.5）；
综上所述，A，B的“5和点”有4个，坐标为（-2.5，0），（2.5，0），（0，1.5），（0，-1.5）；

（3）∵AB=4，
∴点A，B的“m和点”的个数情况分三种情况：
①当m＜4时，A，B的“m和点”没有；
②当m=4时，A，B的“m和点”有无数个；
③当m＞4时，A，B的“m和点”有4个．