Question

已知函数f（x）为R上的奇函数，且f（1）=-1，对任意a，b∈R，a+b≠0，有f(a)+f(b)a+b＜0．（1）判断函数f

已知函数f（x）为R上的奇函数，且f（1）=-1，对任意a，b∈R，a+b≠0，有f(a)+f(b)a+b＜0．（1）判断函数f（x）在R上的单调性，并证明你的结论；（2）解关于x的不等式f[k(1?x)x?2]＜1(0≤k＜1)．

Answer 1

（1）由函数f（x）为R上的奇函数，得f（0）=0，
又已知f（1）=-1，所以函数f（x）在R上的单调递减．
证明：令任意x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，在已知中，取a=x₁，b=-x₂，则

f(x1)+f(?x2)

x1?x2

＜0，
∵函数f（x）为R上的奇函数，∴f（-x₂）=-f（x₂），
又x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函数f（x）在R上的单调递减；
（2）∵1=-f（1）=f（-1）
∴由f[

k(1?x)

x?2

]＜1，得：f[

k(1?x)

x?2

]＜f(?1)
∵函数f（x）在R上的单调递减
∴

k(1?x)

x?2

＞?1，即：

(1?k)x+k?2

x?2

＞0
∴当0＜k＜1时，不等式的解集为{x|x＜2或x＞

2?k

1?k

}；
当k=0时，不等式的解集为{x|x≠2}．