Question

定义函数fn(x)＝(1+x)n?1(x＞?2，n∈N*)其导函数记为f′n(x)．（Ⅰ）求y=fn（x）-nx的单调递增区间；（Ⅱ

定义函数fn(x)＝(1+x)n?1(x＞?2，n∈N*)其导函数记为f′n(x)．（Ⅰ）求y=fn（x）-nx的单调递增区间；（Ⅱ）若f′n(x0)f′n+1(x0)＝fn(1)fn+1(1)，求证：0＜x0＜1；（Ⅲ）设函数φ（x）=f3（x）-f2（x），数列{ak}前k项和为Sk，2kSk=φ（k-1）+2kak，其中a1=1．对于给定的正整数n（n≥2），数列{bn}满足ak+1bk+1=（k-n）bk（k=1，2…，n-1），且b1=1，求b1+b2+…+bn．

Answer 1

（Ⅰ）解：fn(x)?nx＝(1+x)n?1?nx，
令g（x）=（1+x）ⁿ-1-nx，则g'（x）=n[（1+x）^n-1-1]，
当x∈（-2，0）时，g'（x）＜0，当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，
所以y=f_n（x）-nx的单调递增区间为（0，+∞）…（4分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，当x∈（-2，0）时，g'（x）＜0，当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，
所以g（x）在（-2，0）上递减，在（0，+∞）上递增，则g（x）在x=0有最小值g（0）=0，
则g（x）≥0，即（1+x）ⁿ＞1+nx，…（5分）
由

fn′(x0)

fn+1′(x0)

＝

fn(1)

fn+1(1)

得，

n(1+x0)n?1

(n+1)(1+x0)n

＝

2n?1

2n+1?1

．
所以1+x0＝

n(2n+1?1)

(n+1)(2n?1)

，所以x0＝

(n?1)2n+1

(n+1)(2n?1)

．
又x₀＞0，x0?1＝

n+2?2n+1

(n+1)(2n?1)

，
所以2ⁿ⁺¹=（1+1）ⁿ⁺¹＞1+（n+1）×1=n+2，所以x₀-1＜0，即x₀＜1，
所以0＜x₀＜1…（9分）
（Ⅲ）解：φ(x)＝f3(x)?f2(x)＝x(1+x)2
∵2kS_k=φ（k-1）+2ka_k，∴2kSk＝(k?1)k2+2kak，∴2S_k=（k-1）k+2a_k
∴当k＞1时，2S_k-1=（k-2）（k-1）+2a_k-1
故2a_k=2（k-1）+2（a_k-a_k-1），即a_k-1=k-1，∴a_n=n
∵a_k+1b_k+1=（k-n）b_k，∴（k+1）b_k+1=（k-n）b_k，
∴（k+1）b_k+1-kb_k=-nb_k，∴2b₂-b₁=-nb₁，3b₃-2b₂=-nb₂，4b₄-3b₃=-nb₃，…，nb_n-（n-1）b_n-1=-nb_n-1，
以上式子累加得nb_n-b₁=-n（b₁+b₂+b₃+…+b_n-1），∴n（b₁+b₂+b₃+…+b_n-1+b_n）=b₁
∴b1+b2+b3+…+bn?1+bn＝

1

n

…（14分）