Question

如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E

如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合）两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF=12 S△ABC；④BE+CF=EF．上述结论始终正确的个数是（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个

Answer 1

连接AP，
∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，
∴∠B=∠C=∠BAP=∠CAP=45°，AP=PC=PB，∠APC=∠EPF=90°，
∴∠EPF-∠APF=∠APC-∠APF，
∴∠APE=∠CPF，
在△APE和△CPF中

∠EAP＝∠C＝45° AP＝CP ∠APE＝∠CPF

∴△APE≌△CPF（ASA），
∴AE=CF，EP=PF，
∴△EPF是等腰直角三角形，∴①正确；②正确；
∵△APE≌△CPF
∴S_APE=S_△CPF，
∴S_{四边形AEPF}=S_△AEP+S_△APF=S_△CPF+S_△APF=S_△APC=

1

2

S_△ABC，∴③正确；
∵AB=AC，AE=CF，
∴AF=BE，
∴BE+CF=AE+AF＞EF，∴④错误；
即正确的有3个，
故选C．