Question

已知函数f（x）=log2（x+a）．（Ⅰ）当a=1时，若f（x）+f（x-1）＞0成立，求x的取值范围；（Ⅱ）若定义在

已知函数f（x）=log2（x+a）．（Ⅰ）当a=1时，若f（x）+f（x-1）＞0成立，求x的取值范围；（Ⅱ）若定义在R上奇函数g（x）满足g（x+2）=-g（x），且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求g（x）在[-3，-1]上的解析式，并写出g（x）在[-3，3]上的单调区间（不必证明）；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的g（x），若关于x的不等式g（t?2x8+2x+3）≥g（-12）在R上恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=1时，f（x）=log₂（x+1）．
∴f（x-1）=log₂x，
∴f（x）+f（x-1）=log₂（x+1）+log₂x=log₂[x（x+1）]，
若f（x）+f（x-1）＞0，则

x＞0 x+1＞0 x(x+1)＞1

，
解得：x∈（

5 ?1

2

，+∞），
即x的取值范围为（

5 ?1

2

，+∞）；
（Ⅱ）∵函数g（x）是定义在R上奇函数，
故g（0）=0，
又∵当0≤x≤1时，g（x）=f（x）=log₂（x+a）．
故a=1，
当x∈[-2，-1]时，x+2∈[0，1]，
∴g（x）=-g（x+2）=-log₂（x+3）．
当x∈[-3，-2]时，x+2∈[-1，0]，-（x+2）∈[0，1]，
∴g（x）=-g（x+2）=g[-（x+2）]=log₂[-（x+2）+1]=log₂（-x-1）．
故g（x）=

log2(?x?1)，x∈[?3，?2] log2(x+3)，x∈[?2，?1]

，
g（x）在[-3，-1]和[1，3]上递减，在[-1，1]上递增；
（III）记u=

t?2x

8+2x+3

=-

1

8

+

t+1

8+2x+3

，
当t+1≥0时，u∈（-

1

8

，-

1

8

+

t+1

8

）=（-

1

8

，

t

8

），
由g（

t?2x

8+2x+3

）≥g（-

1

2

）在R上恒成立可得：（-

1

8

，

t

8

）∈[?

1

2

.

5

2

]，
解得：t∈[-1，20]．
当t+1＜0时，u∈（-

1

8

+

t+1

8

，-

1

8

）=（

t

8

，-

1

8

），
由g（

t?2x

8+2x+3

）≥g（-

1

2

）在R上恒成立可得：（

t

8

，-

1

8

）∈[?

1

2

.

5

2

]，
解得：t∈[-4，-1）．
综上所述实数t的取值范围为[-4，20]．