Question

设P（x，y）是角θ的终边上任意一点，其中x≠0，y≠0，并记r＝x2+y2．若定义cotθ＝xy，secθ＝rx，cscθ

设P（x，y）是角θ的终边上任意一点，其中x≠0，y≠0，并记r＝x2+y2．若定义cotθ＝xy，secθ＝rx，cscθ＝ry．（Ⅰ）求证sin2θ+cos2θ-tan2θ-cot2θ+sec2θ+csc2θ是一个定值，并求出这个定值；（Ⅱ）求函数f（θ）=|sinθ+cosθ+tanθ+cotθ+secθ+cscθ|的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）sin²θ+cos²θ-tan²θ-cot²θ+sec²θ+csc²θ
=1?(

y

x

)2?(

x

y

)2+(

r

x

)2+(

r

y

)2
=1+1+1=3…（4分）
（Ⅱ）由条件，cotθ＝

x

y

＝tanθ，secθ＝

1

cosx

，cscθ＝

1

sinθ

令g（θ）=sinθ+cosθ+tanθ+cotθ+secθ+cscθ=sinθ+cosθ+

sinθ

cosθ

+

cosθ

sinθ

+

1

cosθ

+

1

sinθ

=sinθ+cosθ+

1

sinθcosθ

+

sinθ+cosθ

sinθcosθ

…（6分）
令sinθ+cosθ=t，则t＝sinθ+cosθ＝

2

sin(θ+

π

4

)∈[?

2

，

2

]，t≠±1，且sinθcosθ＝

t2?1

2

，
从而g(θ)＝y＝t+

2

t2?1

+

2t

t2?1

=t+

2(t+1)

t2?1

=t+

2

t?1

=t?1+

2

t?1

+1，…（9分）
令u=t-1，则y＝u+

2

u

+1，u∈[?

2

?1，

2

?1]，且t≠0，t≠-2．
∴y∈(?∞，1?2

2

]∪[3

2

+2，+∞)．
从而f(θ)＝|y|≥2

2

?1，即f(θ)min＝2

2

?1．          …（12分）